解析A1

この講義と（来年の前期に開講される）解析B1では複素関数論の基礎について学びます．この講義では，複素平面から始めて，複素関数とその微分，積分について基本から詳しく講義します．一つの目標は Cauchy の積分定理，積分公式と呼ばれる複素関数論で最も重要（かつ有用）な定理を学ぶことです．

具体的には右にあげた教科書の第１章から第４章（および第９章の一部）をほぼそれに沿う形で講義します．講義の進度は比較的緩やかになると思いますが，多くの数学の分野の基礎となる部分ですから各自十分時間をかけて理解を深めてくれることを期待します．

演習について

演習は講義クラスを２つに分けて，行います．演習は「問題を解く」，「黒板で発表する」，「質疑応答」によって，講義内容の理解を深めることを目標にします．学生とスタッフの間のインタラクティブな関係を重視したいと思います．

期末テストは１月３０日（金）午後１時より　演習のクラスで行います．

演習問題 (No.10 1/9分まで）

小テスト問題（No.13 1/23 分まで）

講義ノート（11/28分まで）講義ノート（12/5以降分）

期末テスト　予行演習問題

講義の復習（チェックリスト）と４月以降の講義（解析B1）への注意

第１回（１０月３日）　複素数と複素平面（p1-14)

1. 講義と演習についての説明
2. 複素数の演算，複素共役についての復習
3. 複素平面と極形式についての説明．
4. 複素数の演算とその幾何学的な意味
5. ベキ乗とベキ根

第２回（１０月１０日）　複素数の関数（p14-32)

1. 複素関数の導入
2. 複素平面の位相（開集合，領域）
3. 複素変数の関数とその例
4. 複素関数の極限と連続性

第３回（１０月１７日）　複素数の関数（p32-46)

1. 複素関数の微分
2. コーシー・リーマンの方程式（関係式）
3. 正則関数・調和関数

第４回（１０月２４日）　初等関数（p47-50 ＋α)

1. 多項式関数
2. 有理関数と部分分数展開
3. 指数関数

多項式と有理関数については教科書で触れられていませんが，授業で簡単に述べます．

第５回（１０月３１日）　初等関数（２）（p55-69 )

1. 対数関数
2. 三角関数•双曲線関数
3. 複素べき

第６回（１１月７日）　前半の講義の復習

第７回（１１月１４日）複素数値関数の線積分（p70-81）

1. 実数変数複素数値関数の積分
2. 曲線の定義
3. 複素関数の曲線に沿う線積分

第８回（１１月２８日）コーシーの積分定理と原始関数（１）（p82-88）

1. 曲線とホモトピー
2. コーシーの積分定理
3. 原始関数

第９回（１２月５日）コーシーの積分定理と原始関数（２）

1. コーシーの積分定理の応用（積分経路の変更による定積分の計算）

第１０回（１２月１２日）コーシーの積分定理と原始関数（３）

1. コーシーの積分定理の証明

第１１回（１２月１９日）コーシーの積分公式とリュービルの定理

1. コーシーの積分公式
2. コーシーの微積分公式
3. モレラの定理
4. リュービルの定理と代数学の基本定理

第１２回（１月９日）テイラー展開

第１３回（１月２３日）

1. 補足（一致の定理，最大値原理）
2. 復習と期末テストの予行演習

期末テスト（１月３０日の予定）