解析B1

この講義は解析A1の講義の続きで．複素関数論についてより詳しく学びます．解析A1の講義では複素関数論の基礎について学びました．基本的な定義を導入し，コーシーの積分定理などの正則関数の基本性質について述べました．この講義の前半ではその続きとして，級数展開（テイラー展開とローラン展開），孤立特異点の分類や留数定理の応用，等角写像について学びます．そこまでで複素関数論の標準的な教程が終わります．（これは世界中どこでもほぼ同じ．）具体的には教科書の５章と６章はほぼそれに沿う形で，７章と８章は一部省略して講義する予定です．後半はもう少し進んだいくつかのトピック，例えば

• リーマン球面と１次分数変換
• 単位円板上の非ユークリッド幾何学
• ラプラス方程式と調和関数

などについて講義をする予定です．（前半の進度によって調整します．）

演習について

演習は講義クラスを２つに分けて，行います．演習は「問題を解く」，「黒板で発表する」，「質疑応答」によって，講義内容の理解を深めることを目標にします．前期の演習は，学生が黒板で解いた答案を講師が講評するという形でしたが，さらにそれを進めて，学生と講師，学生と学生の間で議論ができると良いと思います．（これは３年生後期から始まるセミナーへの準備にもなります．）

期末テストを７月１３日に予定しています．（７月２７日には答案の返却を行います．）なお，７月１３日に都合が悪い人は７月２７日の午後に別に試験を行います

1. 講義についての説明
2. 講義プリント（１次分数変換について）
3. 演習問題プリント（授業で配るよりも先の部分も含まれていますが，それは作成中の部分で今後変更や修正がある可能性があります．）
4. 小テスト
5. 講義ノート

第１回（４月１５日）　複素数関数の収束

1. 解析A1の講義の復習．
2. 数列・級数の極限

第２回（４月２２日）　複素関数列

1. 関数列の収束（各点収束，一様収束，広義一様収束）
2. 関数項級数とワイエルストラスのM判定法
3. 正則関数列の極限

第３回（４月２７日）　べき級数

1. 収束半径
2. 項別微分・項別積分
3. べき級数の積と合成

第４回　（５月１１日）　　テイラー展開とローラン展開

1. テイラー展開とローラン展開
2. 一意性
3. 具体的な関数の展開
4. 部分分数展開

第５回　（５月１８日）　　零点と極

1. 零点の孤立性と位数
2. 孤立特異点の分類（除去可能，極と真性特異点）

第６回　（５月２５日）　　零点と極（続き）
前回の続きで，極とその位数，極と真性特異点の特徴付け（ワイエルストラスの定理，ピカールの大定理）について述べる．

第７回　（６月１日）　　留数定理
孤立特異点の留数およびその積分形への簡単な応用について講義する．

1. 留数の定義
2. 留数定理
3. 留数の計算方法
4. 簡単な応用

第８回　（６月８日）　留数定理の応用．
留数定理を応用して，実積分を計算する．教科書に沿って次の場合を扱う．

1. 有理関数の無限積分
2. 三角関数を含む無限積分
3. 特異点が実軸上にある場合
4. 多価関数の無限積分
5. 三角関数を含む定積分

第９回　（６月１５日）　偏角の原理のルーシェの定理
偏角の原理とその応用について述べる．

1. 偏角の原理
2. 偏角の原理の意味（回転数）
3. ルーシェの定理
4. 代数学の基本定理の別証明．

第１０回　（６月２２日）　１次分数変換（１）
リーマン球面上の１次分数変換について講義する．

1. リーマン球面
2. １次分数変換の定義
3. 非調和比と３点対応
4. 円円対応

第１１回 　（６月２９日）　　１次分数変換（２）
１次変換について，次の項目を講義する．

1. 対称点の保存
2. 具体的ないくつかの１次分数変換（Cayley変換など）
3. 単位円板や上半平面を保つ１次分数変換
4. １次分数変換の普遍性

第１２回　　（７月６日） 単位円板上の非ユークリッド幾何学
単位円板上の非ユークリッド幾何について述べる．具体的には次の項目について述べる．

1. ポアンカレ計量
2. ポアンカレ計量についての測地線
3. 平行線の公準の独立性

第１３回　（７月１３日）期末テスト

第１４回　（７月２７日）期末テストの返却（午前）