Math2B 2009

連絡：期末試験は７月２９日です．
講義内容：

数学１Bで学んだ複素関数論の基礎をもとに，より発展的な内容（調和関数や等角写像の理論）について講義する．教科書では主に第５章である．

注意：教科書では第５章以外がいくつかの部分に分けて収録されているため，講義との関係が多少複雑になる．そのため，講義プリントを用意して，全体の講義のあらすじを明確にする．また，講義中に教科書との対応については説明する．

• 講義プリント（pdfファイル）印刷して持参すること
• 講義の概要（pdfファイル）
• 小テスト（pdfファイル）

第１回　熱方程式とラプラス方程式
調和関数を学ぶ一つの動機付けとして，熱伝導方程式について述べ，その定常状態として調和関数が現れることを説明する．

1. 熱方程式の導出
2. 熱方程式の定常状態としての調和関数

第２回　正則関数（４月２２日）
２次元の調和関数と正則関数の関係について述べる．

1. 正則関数と Cauchy-Riemann の関係式
2. 正則関数と調和関数

教科書　1-4節　
宿題: p27 問題17-28

第３回　等角写像（５月１３日）
正則関数が定める複素平面の領域から領域への写像（等角写像）について述べる．

1. 等角写像
2. 調和関数の等角写像による変換
3. リーマンの写像原理

第４回　１次分数変換（１）　（５月２０日）
最も簡単で自明でない等角写像として，１次分数変換について述べる．今回は

1. 定義
2. 拡張した複素平面
3. 円円対応

について述べる．

第５回　１次分数変換（２）　（５月２７日）
１次分数変換の項目について述べる．

1. ケーリー変換などの具体的な１次分数変換の例についての考察
2. 不動点
3. ３点対応（任意の３点を与えられた３点に移す１次分数変換の存在と一意性）

第６回　初等関数による等角写像（１）（６月３日）
前半は前半は典型領域を保つ１次分数変換についてこうぎする．そのあとで，ベキ乗関数の定める等角写像について述べる．

第７回　初等関数による等角写像（２）（６月１０日）
指数関数による等角写像について解説する．

第８回　初等関数による等角写像（３）（6月１７日）
三角関数および双曲線関数による等角写像について解説する．

第９回　初等関数による等角写像（４）（6月２４日）
初等関数による等角写像と簡単な調和関数を組み合わせて，与えられた境界条件をみたす調和関数を見つける例題について解説する.

第１０回　初等関数による等角写像（４）（７月１日）
Joukowski 変換について解説する．

第１１回　複素ポテンシャルと完全流体（７月８日）

第１２回　複素ポテンシャルと完全流体（２）（７月１５日）

第１３回　単位円板上の調和関数（７月２２日）

第１４回　期末テスト（７月２９日）