講義ノート
ランダム行列と非衝突拡散過程
( 確率論サマースクール, 2006 年8 月7 日〜10 日, 信州大学)
著者： 種村秀紀
所属：千葉大学理学部数学・情報数理学科
概要：
Dyson は, 対角成分が実ブラウン運動に従って変動し,
非対角成分が複素ブラウン運動に従って変動する，エルミート行列に値をもつ確率過程を考案した．行列のサイズがN £ N
であるとすると，エルミート行列値なのでN 個の固有値は実軸上を運動することになるが，Dyson はその運動を記述するN
連立の確率微分方程式を導いた．この固有値の確率過程をDyson モデルとよぶことにする．実軸上の固有値を，それぞれ1
次元上の粒子の位置とみなすことにすると，Dyson モデルは1 次元N 粒子系を記述することになる．Dyson
は，これはいかなる粒子間の衝突も起こらないという条件の下でのN 個の1 次元ブラウン運動（非衝突ブラウン運動）に他
ならないことを結論している[6]. 今回の集中講義では, これらのDyson の結果の拡張, 発展につ
いて, この数年間の香取眞理氏（中央大学理工学部）との共同研究を中心に紹介する.
平面内の2D クーロン無限粒子系の確率幾何と力学
(Stochastic geometry and dynamics of infinite log-gases in the plane)
長田博文 京都大学集中講義(2010 年)
集中講義概要 平面の中の無限個の粒子が2次元クーロンポテンシャル(対数関数) で相互作用するシステムを考える．このようなシステムを記述する確率測度の存在は非自明で，特別なポテンシャルの強さ(β = 2) の場合だけが構成されている．この測度は，非エルミート・ガウシアンランダム行列の固有値の分布の熱力学極限，つまりGinibre ensemble の極限なので，ここではGinibre random point fieldと呼ぶ．尚，直線上の対応物はDyson's モデルとよばれガウシアンランダム行列(GOE, GUE, GSE)の固有値の熱力学極限である．従来考察されてきたのは，Lebesgue測度を密度とするPoissonランダム測度や，Ruelleクラスの干渉ポテンシャルをもつGibbs測度であった．
Poissonランダム測度は理想気体を表現する．無限粒子系の空間のLebesgue測度の役割を果たすものであり，Gibbs測度はそれに近いクラスである．ここで，Gibbs測度とは，与えられた干渉ポテンシャルをもつ無限粒子系を記述する測度を，その条件付き確率が満たすべき方程式(Dobrushin-Lanford-Ruelle方程式)で記述するものだが，その構成は，70年前後にRuelleクラスポテンシャルという超安定性と，正則性と呼ばれる遠方での可積分性のもとで確立した．しかし，クーロンポテンシャルは遠方で非可積分のため，この標準的なクラスから除外されていた．
この講義では，いかに無限クーロン系（Ginibre random point field）が，Gibbs測度と異なる世界を形成するか，確率幾何および確率力学の視点から論じる．
内容
(1) 序：2D クーロンポテンシャル・平衡分布・無限次元SDE
(2) 配置空間・Gibbs 測度 その他の準備
(3) Determinantal random point fields (RPF)，Ginibre RPF の定義
(4) 微小搖動(small fluctuation) 準Gibbs 性：Dirichlet 形式論による確率力学（配置空間値の拡散過程）の構成
(5) 対数微分（部分積分公式）：Ginibre RPF と2D クーロンポテンシャルとの関係の確立
(6) 無限次元確率微分方程式（ISDE）による確率力学の表現：
(7) Palm 測度の特異性と絶対連続性，Kostlan 表現，Palm カップリング：random 結晶構造としてのGinibre RPF
(8) Kipnis-Varadhan 理論
(9) Ginibre Palm 環境のhomogenization，Periodic 2D クーロン環境のhomogenization，tagged particle 問題のphase transition 予想