Kyoto-Math 93-09 (1993)

Une nouvelle démonstration des identités de Hecke

Takaaki NOMURA

Soit P_{j} (j = 0, 1, 2, …) l’espace vectoriel des polynômes homogènes de degré j sur R^{n} à coefficients complexes. On désigne par PH_{j} le sous-espace de P_{j} formé par les polynômes harmoniques. L’une des identiés de Hecke dont il s’agit est la suivante ([1]∼[5]):

Théorème 1. Si p ∈ PH_{j}, on a

(1.1)  ∫_{R^{n}} p(x)e^{−π∥x∥^{2}}e^{−2πiξ·x} dx = i^{−j}p(ξ)e^{−π∥ξ∥^{2}}  (ξ ∈ R^{n}).

La démonstration normale [2] ∼ [5] fait usage de la formule de la moyenne des fonctions harmoniques et celle de Clerc [1, p. 198] utilise le lemme de Schur. Dans cet article, on présente une démonstration nouvelle et plus simple (à la représentation du groupe SO(n, R) près) dont le mécanime s’applique aux autres identités de Hecke qu’on étudiera plus tard.

Tout ce dont on a besoin est l’irréductibilité de la représentation du groupe SO(n, R) sur PH_{j}: T (g)f(x) = f(g^{−1}x) (g ∈ SO(n, R), f ∈ PH_{j}) (voir [1], [3]). Une conséquence immédiate de cette irréductibilité est la suivante. Soit

N := {(c_{1}, …, c_{n}) ∈ C^{n} ; c_{1}^{2} + ⋯ + c_{n}^{2} = 0}.

Alors, l’espace vectoriel PH_{j} est engendré par les fonctions q_{c}(x)^{j} (c ∈ N), où q_{c}(x) := c_{1}x_{1} + ⋯ + c_{n}x_{n}. Pour le voir, il suffit d’observer que

Δ(q_{c}(x)^{j}) = j(j − 1)(c_{1}^{2} + ⋯ + c_{n}^{2})q_{c}(x)^{j−2} pour j ≥ 2,
T (g)q_{c} = q_{gc},

et que N est stable par SO(n, C) (donc par SO(n, R)). Par conséquent, on n’a qu’à montrer (1.1) pour p(x) = q_{c}(x)^{j} (c ∈ N). Or, l’analyse de Fourier élémentaire nous dit que (x^{α}f) = ( − \frac{D}{2πi})^{α}f̂ (avec la notation habituelle des multi-indices α) pour f ∈ S(R^{n}), par exemple, et (e^{−π∥x∥^{2}}) = e^{−π∥ξ∥^{2}}. Donc, ce qu’il faut démontrer est l’identité suivante:

(1.2)  q_{c}(−\frac{D}{2πi})^{j}e^{−π∥ξ∥^{2}} = i^{−j}q_{c}(ξ)^{j}e^{−π∥ξ∥^{2}}  (c ∈ N).

On note d’abord que

(1.3)  q_{c}(D)(q_{c}(ξ)^{k}) = k q_{c}(c)q_{c}(ξ)^{k−1} = 0  (k = 1, 2, …).

D’autre part, on a aisément

(1.4)  q_{c}(D)e^{−π∥ξ∥^{2}} = −2πq_{c}(ξ)e^{−π∥ξ∥^{2}}.

L’opérateur différentiel q_{c}(D) étant d’ordre 1, les formules (1.3) et (1.4) permettent de démontrer, par récurrence, en utilisant la règle de Leibniz,

q_{c}(D)^{j}e^{−π∥ξ∥^{2}} = (−2π)^{−j}q_{c}(ξ)^{j}e^{−π∥ξ∥^{2}},

ce qui n’est autre que (1.2).

C.Q.F.D.

Voyons comment marche le même mécanisme dans la démonstration de l’autre identité de Hecke. Soit σ la mesure borélienne sur la sphère unité S^{n−1} pour laquelle on a

∫_{R^{n}} f(x) dx = ∫_{0}^{∞} r^{n−1} dr ∫_{S^{n−1}} f(ru) dσ(u)

pour toute fonction borélienne sommable f sur R^{n}. On sait que

σ̂(ξ) := ∫_{S^{n−1}} e^{−2πiξ·u} dσ(u) = 2π∥ξ∥^{−(n−2)/2}J_{(n−2)/2}(2π∥ξ∥),

où J_{λ} désigne la fonction de Bessel ordinaire d’ordre λ ([2], [3] et [5]).

Théorème 2. Soit p ∈ PH_{j}. Alors

∫_{S^{n−1}} p(u)e^{−2πiξ·u} dσ(u) = 2π i^{−j}∥ξ∥^{− \frac{n−2}{2} −j}J_{\frac{n−2}{2} +j}(2π∥ξ∥),

Démonstration. Il suffit de montrer l’identité suivante:

q_{c}(−\frac{D}{2πi})^{j}σ̂(ξ) = 2π i^{−j}q_{c}(ξ)^{j}∥ξ∥^{− \frac{n−2}{2} −j}J_{\frac{n−2}{2} +j}(2π∥ξ∥),

pour c ∈ N. Cette fois-ci, la relation bien connue (e.g., [5, proof of Lemma IV.3.1])

(1.5)  \frac{d}{dt}(t^{−λ}J_{λ}(t)) = −t^{−λ}J_{λ+1}(t)

nous permet d’avoir pour k = 1, 2, …, n,

\frac{∂}{∂ξ_{k}} σ̂(ξ) = −(2π)^{2}ξ_{k}∥ξ∥^{− \frac{n−2}{2} −1}J_{\frac{n−2}{2} +1}(2π∥ξ∥),

de sorte que

q_{c}(−\frac{D}{2πi})σ̂(ξ) = \frac{2π}{i} q_{c}(ξ)∥ξ∥^{− \frac{n−2}{2} −1}J_{\frac{n−2}{2} +1}(2π∥ξ∥).

Le résultat en découle via une récurrence facile utilisant (1.3) et (1.5).

C.Q.F.D.

Finalement, signalons que

q_{c}(D)(∥ξ∥^{α}) = αq_{c}(ξ)∥ξ∥^{α−2},

qui, avec (1.3), permet non seulement de démontrer l’identité classique

p(D)(∥ξ∥^{2−n}) = c_{j}∥ξ∥^{2−n−2j}p(ξ) (p ∈ PH_{j}),

où c_{j} = (−1)^{j}(n − 2)n(n + 2) ⋯ (n + 2j − 4) (voir [4, p. 74]) mais aussi de calculer la transformée de Fourier de p(x)∥x∥^{−s} pour p ∈ PH_{j} à partir de celle de ∥x∥^{−s}. On ne détaillera pas la démonstration, car cela se fait de la même façon.

Références bibliographiques

[ 1 ] J.-L. Clerc, Les représentations des groupes compacts, Les Cours du CIMPA,

Analyse Harmonique, 145–234, CIMPA, Nice, 1983. [ 2 ] P. Eymard, Analyse de Fourier euclidienne, Ibid., 1–144. [ 3 ] J. Faraut, Analyse harmonique et fonctions spéciales. Deux Cours d’Analyse

Harmonique, 1–151, Birkhäuser, Boston, 1987. [ 4 ] S. Helgason, Groups and geometric analysis, Academic Press, New York, 1984. [ 5 ] E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on euclidean spaces,

Princeton Univ. Press, Princeton, 1971.

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