Bochner-Hecke 等式の表現論的証明

野 村 隆 昭 京大理

n ≧ 3 とし, ℝ^{n} 上の ℂ-係数 j 次斉次調和多項式の全体を HP_{j} で表す.

Bochner-Hecke 等式. p ∈ HP_{j} のとき,

(1)  \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{ℝ^{n}} p(x)e^{−∥x∥^{2}/2}e^{−iξ·x} dx = i^{−j}p(ξ)e^{−∥ξ∥^{2}/2}.

通常, この等式の証明は調和函数の平均値定理を用いてなされる (e.g., [1]). ここでは, G = SO(n, ℝ) の HP_{j} への自然な表現 : T (g)p(x) = p(g^{−1}x) (g ∈ G, p ∈ HP_{j}) が既約である事を応用した証明を報告したい. 各 c = (c_{1},…, c_{n}) ∈ ℂ^{n} に対して, q_{c}(x) = c_{1}x_{1} + ⋯ + c_{n}x_{n} とおく. N = { c ∈ ℂ^{n}; c_{1}^{2} + ⋯ + c_{n}^{2} = 0 } とすると, N は O(n, ℂ)-不変, 従って SO(n, ℝ)-不変な集合である. q_{c}^{j}(x) = q_{c}(x)^{j} とおくと, 表現 (T, HP_{j}) が既約なことと

\{ \begin{matrix}Δq_{c}^{j} = j(j − 1)(c_{1}^{2} + ⋯ + c_{n}^{2})q_{c}^{j−2}, \\ T (g)q_{c}^{j} = q_{gc}^{j} \end{matrix}

とから次の補題を得る.

補題. span { q_{c}^{j} ; c ∈ N } = HP_{j}.

従って, p = q_{c}^{j} (c ∈ N) のときに (1) を示せばよい. しかしこれは,

\{ \begin{matrix}q_{c}(D)e^{−∥ξ∥^{2}/2} = −q_{c}(ξ)e^{−∥ξ∥^{2}/2}, \\ q_{c}(D)q_{c}^{m} = mq_{c}(c)q_{c}^{m−1} \end{matrix}

より, c ∈ N のとき, q_{c}^{j}(D)e^{−∥ξ∥^{2}/2} = (−1)^{j}e^{−∥ξ∥^{2}/2}q_{c}^{j}(ξ) が示されることより明らかである. この証明の mechanism は, p ∈ HP_{j} のとき,

(2)  \frac{1}{(2π)^{n/2}} ∫_{S^{n−1}} p(u)e^{−iξ·u} dσ(u) = i^{−j} ∥ξ∥^{− \frac{n−2}{2} −j} p(ξ) J_{\frac{n−2}{2} +j}(∥ξ∥),

（ただし, σ は S^{n−1} 上の Borel 測度で ∫_{ℝ^{n}} f(x) dx = ∫_{0}^{∞} r^{n−1} dr ∫_{S^{n−1}} f(ru) dσ(u) となるもので, J_{λ} は Bessel 函数）の証明や

(3)  p(D)(∥x∥^{α}) = [ j−1 ; ∏ ; m=0(α − 2m)] ∥x∥^{α−2j}p(x)

の証明にも応用できる. ただ, 残念ながら本日報告した証明が, 好みにも依るが, 最も簡単なものという訳ではない. 次数 j についての帰納法に Euler 作用素 E = x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + ⋯ + x_{n} \frac{∂}{∂x_{n}} を援用すると, 初等 Fourier 解析だけで (1), (2) が証明されてしまう. この帰納法はもちろん (3) にも有効である.

参考文献

[ 1 ] E. M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on euclidean spaces, Princeton Univ. Press, Princeton, 1971.