Algebraically independent generators of invariant differential operators on a symmetric cone

京大理 野 村 隆 昭 (Takaaki Nomura)

よく知られた例から始めよう. [8], [12] 参照. 実 r × r 対称行列のなすベクトル空間を Sym(r, ℝ) で表す. Sym(r, ℝ) は自然な内積 ⟨x, y⟩ := tr(xy) を持つ. 正定値なもの全体から成る Sym(r, ℝ) の部分集合を Ω とする. Ω は Sym(r, ℝ) の開凸錐で, しかも内積 ⟨·, ·⟩ に関して自己双対である. すなわち,

Ω = \{ y ∈ Sym(r, ℝ) ; ⟨x, y⟩ > 0 for ∀x ∈ \overline{Ω}\\{0\} \}

(\overline{Ω} は Ω の閉包) が成り立つ. 線型 Lie 群 GL(r, ℝ) は Sym(r, ℝ) に x ↦ g x^{t}g により作用していて, Ω はこの作用による単位行列 e ∈ Ω の GL(r, ℝ)-軌道になっている. Ω 上の微分作用素で, GL(r, ℝ) の作用と可換なものの全体を D(Ω)^{GL(r,ℝ)} とする. このとき, r 個の微分作用素

tr ((x\frac{∂}{∂x})^{j}) (j = 1, 2,…, r)

は D(Ω)^{GL(r,ℝ)} の代数的に独立な生成元になっている. 本稿では, この結果を任意の自己双対な開凸錐 (以下対称錐と呼ぶ) に, その分類を用いずしかも explicit な形で, 一般化する. そのために, 1950 年代の終わりに, Koecher [7] や Vinberg [13] によって発見された事実 — 任意の対称錐はある種の Jordan 代数によって記述される — を用いる.

§1. Jordan 代数 Jordan 代数の定義から始めよう. 証明は [1], [3], [5], [6], [11] 等を見られたい. 実ベクトル空間 V に次の (1), (2) をみたす双線型写像 (すなわち, 積) V × V ∋ (x, y) ↦ xy ∈ V が定義されているとき, V を\underline{実 Jordan 代数}という:

∀x, y ∈ V に対して,  (1) xy = yx,  (2) x^{2}(xy) = x(x^{2}y).

ここでは, 結合律は仮定されていないことに注意. 各 x ∈ V に対して, 作用素 L(x) を

L(x)y = xy (y ∈ V)

で定義する. 2 つの作用素 A, B に対して, [A, B] = AB − BA とおくと, (2) は作用素の等式として

[L(x), L(x^{2})] = 0

と書き直せることに注意しておく. さて, Jordan 代数 V は非結合的代数であるが, べきに関しては指数法則が成り立っている (この意味で, Jordan 代数は power associative algebra になっている). そして, V 上の i 次の斉次多項式函数 σ_{i} (1 ≦ i ≦ d) が存在して

m_{x}(λ) = λ^{d} − σ_{1}(x)λ^{d−1} + σ_{2}(x)λ^{d−2} + ⋯ + (−1)^{d}σ_{d}(x)

が, V のある Zariski-dense な開集合に属する ∀x に対して, x の最小多項式になること, 及び m_{x}(λ) の既約成分は, x の最小多項式の 1 つの因数になっていることが知られている [5]. 多項式 m_{x}(λ) は x ∈ V の一般最小多項式と呼ばれ, d を V の\underline{degree} という. 以下では,

T (x) = σ_{1}(x)

とおいて, 線型形式 T を V の\underline{trace} と呼ぶことにする. 実 Jordan 代数 V において,

x^{2} + y^{2} = 0 ならば x = y = 0

が成り立つとき, V は\underline{形式的実}であるという. 形式的実 Jordan 代数は必ず単位元 e を持つ. 以下, Jordan 代数 V は形式的実であるとする. V の 0 でないべき等元の系 e_{1}, e_{2},…, e_{k} が\underline{直交系}であるとは, i ≠ j ならば e_{i}e_{j} = 0 が成り立つことであり, それが\underline{完全}であるとは, e_{1} + ⋯ + e_{k} = e (単位元) となることである.

命題 1.1(スペクトル分解). V の各元 x に対して, 0 でないべき等元の完全直交系 e_{1}, e_{2},…, e_{k} と実数 λ_{1},…, λ_{k} (λ_{1} < λ_{2} < ⋯ < λ_{k}) が存在して, x = λ_{1}e_{1} + ⋯ + λ_{k}e_{k} と表される. それらは一意的で, λ_{1},…, λ_{k} のことを, x の\underline{固有値}という.

0 でないべき等元は原始べき等元の直交和に分解できるから, 特に単位元 e は原始べき等元の直交和として e = e_{1} + ⋯ + e_{r} と, 分解できることがわかる. ここで, r は原始べき等元の完全直交系のとり方によらず一定で, V の\underline{階数}と呼ばれ, 上述の degree に一致する.

命題 1.2. Jordan 代数 V において, 次の (1) ∼ (3) は同値 :

(1) V は形式的実.

(2) 対称双線型形式 x, y ↦ tr L(xy) は正定値.

(3) 対称双線型形式 x, y ↦ T (xy) は正定値.

例. Sym(r, ℝ) に xy = (x · y + y · x)/2 (右辺の · は通常の行列の乗法) で積を入れると, Sym(r, ℝ) は形式的実 Jordan 代数になる. 実際, x^{2} + y^{2} = 0 なら x · x + y · y = 0 だから, ∀ξ ∈ ℝ^{r} に対して

0 = ^{t}ξ · (x · x + y · y) · ξ = |x · ξ|^{2} + |y · ξ|^{2}.

これより x = y = 0 が出る.

V の各元 x に対して, 作用素 P (x) を

P (x) := 2L(x)^{2} − L(x^{2}) (x ∈ V)

で定義する. 対応 P : x ↦ P (x) は V の\underline{quadratic representation} と呼ばれる (P (xy) = P (x)P (y) は一般に成り立たないけれども). この P について次の公式が成り立つ： ∀x, y ∈ V に対して

(1.1)  P (P (x)y) = P (x)P (y)P (x),
(1.2)  P (x^{n}) = P (x)^{n} (n = 1, 2,…).

さて, V の元 x に対して, x で生成される V の部分代数を ℝ[ x] で表そう. V は power-associative だから, ℝ[ x] では結合律が成立していることに注意.

命題 1.3. V の元 x に対して, 次の (1) ∼ (4) は同値 :

(1) 作用素 P (x) は可逆, すなわち, det P (x) ≠ 0.

(2) ℝ[ x] の元 y が存在して, xy = e.

(3) V の元 y が存在して, xy = e かつ [L(x), L(y)] = 0.

(4) V の元 y が存在して, xy = e かつ x^{2}y = x.

命題 1.3 の条件をみたす x は\underline{可逆}であるといわれる. (3) より x の逆元 y の一意性がわかり, (1) を用いると, y = P (x)^{−1}x で与えられることがわかる. 可逆元の全体を V^{×} で表す. このとき,

(1.3)  P (x^{−1}) = P (x)^{−1} (∀x ∈ V^{×}).

V には ⟨x, y⟩ := T (xy) で内積を入れておく (命題 1.2). このとき, 任意の x ∈ V に対して, L(x), P (x) は自己共役作用素である.

命題 1.4. 次の 5 つの V の部分集合は同一である :

(1) Int { x^{2} ; x ∈ V } ( Int は集合の内部 ).

(2) { x^{2} ; x ∈ V^{×} }.

(3) V^{×} の単位元の連結成分.

(4) { x ∈ V ; L(x) は正定値}.

(5) { x ∈ V ; x の固有値はすべて正}.

命題 1.4 で定義される V の部分集合を Ω で表す. Ω は V の開凸錐で内積 ⟨·, ·⟩ に関して自己双対である. Ω のことを V の\underline{対称錐}という. x ∈ Ω ならば, P (x) は正定値であることも注意しておこう. さて, 写像 F : Ω ∋ x ↦ x^{2} ∈ Ω を考えよう. x_{0} ∈ V での Fréchet 微分は 2L(x_{0}) で, しかもスペクトル分解を考えることにより容易に F が上への写像であることがわかるから, F は Ω から Ω の上への微分同相である. F の逆写像を Ω ∋ y ↦ y^{1/2} ∈ Ω と表す. V 上の実一般線型群を GL(V) とし

G(Ω) := { g ∈ GL(V) ; gΩ = Ω }

とおく. G(Ω) は GL(V) の閉部分群であるから, G(Ω) は Lie 群になる. Ω が自己双対であるので, G(Ω) は reductive な Lie 群である.

補題 1.5. x ∈ V^{×} なら P (x) ∈ G(Ω).

証明. (1.1) より, ∀y ∈ Ω に対して P (x)y は可逆 (i.e. ∃P (P (x)y)^{−1}) であるから P (x)y ∈ V^{×}. そして P (x)e = x^{2} ∈ Ω だから, P (x)Ω は V^{×} の連結開集合で, Ω と共通部分を持つ. ゆえに, P (x)Ω ⊂ Ω. これと (1.3) より P (x)Ω = Ω. すなわち, P (x) ∈ G(Ω). 任意の x ∈ Ω に対して, P (x^{1/2})e = x ゆえ, 補題 1.5 から特に Ω = G(Ω)e であることがわかる.

§2. 不変多項式以下, 形式的実 Jordan 代数 V は単純で階数が r であるものとする. V の自己同型がなす群を K で表す. すなわち,

K := { g ∈ GL(V) ; g(xy) = (gx)(gy) for ∀x, y ∈ V }.

一般最小多項式の K-不変性 : m_{x}(λ) = m_{kx}(λ) (∀k ∈ K, x ∈ V) から, K は V の内積 ⟨·, ·⟩ に関する直交群 O(V) の閉部分群になることがわかる. 従って, K 自身コンパクト Lie 群である. V 上の K-不変な多項式函数のなす代数を Pol(V)^{K} で表す. Pol(V)^{K} については, 次の結果が知られている.

命題 2.1(U. Hirzebruch [4]). r 個の V 上の多項式函数

f_{j}(x) := T (x^{j}) (j = 1, 2,…, r)

は Pol(V)^{K} の代数的に独立な生成元である.

次の命題は J. Faraut 教授に教わった.

命題 2.2. f ∈ Pol(V)^{K} とすると, 函数

Ω × V ∋ (x, y) ↦ f(P (x^{1/2})y)

は, p(x, y) = p(y, x) (∀x, y ∈ V) である様な V × V 上の多項式函数 p の Ω × V への制限である.

証明は, Faraut 氏の承諾を得て, [9] に書いておいた.

例 1. 命題 2.2 で f = T = f_{1} とすると

(2.1)  T (P (x^{1/2})y) = ⟨P (x^{1/2})y, e⟩ = ⟨y, x⟩

であるから, p(x, y) = ⟨x, y⟩.

例 2. 一般最小多項式の定数項の (−1)^{r} 倍, すなわち, σ_{r}(x) を N(x) と書こう. もちろん, N ∈ Pol(V)^{K}. このとき,

(2.2)  N(P (x^{1/2})y) = N(x)N(y).

従って, p(x, y) = N(x)N(y). V = Sym(r, ℝ) のときは, N(x) = det x, P (x^{1/2})y = x^{1/2} · y · x^{1/2} であるから, (2.2) は det(x^{1/2} · y · x^{1/2}) = (det x)(det y) という式に他ならない.

命題 2.1 の f_{j} に対して, f_{j}(P (x^{1/2})y) を例 1 の様に, explicit に表そう.

命題 2.3. ∀x ∈ Ω と ∀y ∈ V に対して,

(1)  f_{2m−1}(P (x^{1/2})y) = ⟨(P (x)P (y))^{m−1} x, y⟩,
(2)  f_{2m}(P (x^{1/2})y) = ⟨(P (x)P (y))^{m−1} x, (y□x)y⟩.

ただし, y□x = L(yx) + [L(y), L(x)]. 注意. 命題 2.2 より, 命題 2.3 (1), (2) の右辺は, x, y について対称である. 作用素 P (x) が自己共役であったから, (1) の右辺が x, y について対称なことは直接読み取れる. (2) の右辺については, 作用素 y□x の adjoint が x□y となること, 及び Jordan 代数 (というより Jordan 3 重系) での基本的な公式 :

(x□y)P (x) = P (x)(y□x)

からわかる. 以下,

(2.3)  p_{2m−1}(x, y) := ⟨(P (x)P (y))^{m−1} x, y⟩,
(2.4)  p_{2m}(x, y) := ⟨(P (x)P (y))^{m−1} x, (y□x)y⟩

とおく. 各 p_{j} は V × V 上の多項式函数であるが, さらに命題 2.4. 各 j = 1, 2,…, r について,

p_{j}(gx,^{t}g^{−1}y) = p_{j}(x, y) for ∀g ∈ G(Ω), x ∈ V, y ∈ V

が成り立つ. ただし, ^{t}g は内積 ⟨·, ·⟩ に関する g の adjoint. さて, G(Ω) を V × V に

(2.5)  g · (x, y) = (gx,^{t}g^{−1}y)

で作用させる. 補題 2.5. Ω × V 上の C^{∞}-函数 L は, (2.5) による G(Ω) の作用で不変で, かつ各 x ∈ Ω を固定するとき, y ↦ L(x, y) は V 上の多項式函数であるとする. このとき, r 変数の多項式函数 Q が存在して,

L(x, y) = Q(p_{1}(x, y),…, p_{r}(x, y)) (∀x ∈ Ω, ∀y ∈ V)

となる. ここで, p_{j} は (2.3),(2.4) で定義されたものである.

証明は, K ⊂ O(V) に注意して, l(y) := L(e, y) で定義される V 上の多項式函数 l が Pol(V)^{K} に属することと, U. Hirzebruch の結果 (命題 2.1), 及び L(x, y) = l(P (x^{1/2})y) となることを用いる. (2.5) による G(Ω) の作用で不変な V × V 上の多項式函数のなす代数を Pol(V × V)^{G(Ω)} で表そう. 命題 2.2 を精密化すると

定理 2.6. 各 f ∈ Pol(V)^{K} に対して,

p_{f}(x, y) := f(P (x^{1/2})y) (x ∈ Ω, y ∈ V)

とおくと, 写像 f ↦ p_{f} は, Pol(V)^{K} から Pol(V × V)^{G(Ω)} の上への algebra isomorphism を与える.

§3. G(Ω)-不変微分作用素 G(Ω) の V への作用は線型であったから, G(Ω) の V × V への作用 (2.5) を Ω × V に制限すると, それは Ω の余接束 T^{∗}(Ω) ≈ Ω × V への G(Ω) の自然な作用に他ならない. (2.3), (2.4) で定義された p_{j} を用いて, 微分作用素 p_{j}(x, ∂/∂x) を

p_{j}(x, ∂/∂x)e^{⟨x,y⟩} = p_{j}(x, y)e^{⟨x,y⟩}

で定義する.

定理 3.1. r 個の微分作用素 p_{1}(x, ∂/∂x),…, p_{r}(x, ∂/∂x) は, Ω 上の G(Ω)-不変な微分作用素のなす代数 D(Ω)^{G(Ω)} の代数的に独立な生成元である.

例. x ∈ Ω のとき, P (x) は正定値自己共役作用素であったことを思い出そう. 各 x ∈ Ω に対して

B_{x}(u, v) := ⟨P (x)u, v⟩ (u, v ∈ V)

とおくと, B : x ↦ B_{x} は Ω に G(Ω)-不変な Riemann 構造を定義し, Ω は Riemann 対称空間となる. 点 e ∈ Ω での symmetry は x ↦ x^{−1} (Jordan 代数 V での inverse) で与えられる. このとき, Riemann 構造 B に関する Ω 上の Laplace-Beltrami 作用素 Δ は

Δ = p_{2}(x, ∂/∂x) + \frac{n}{r} · p_{1}(x, ∂/∂x)

と表される. ここで, p_{1}(x, y) = ⟨x, y⟩ であったから, p_{1}(x, ∂/∂x) はいわゆる Euler 作用素である.

References

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2. J. Dorfmeister and M. Koecher, Reguläre Kegel, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 81 (1979), 109–151.

3. J. Faraut, “Algèbres de Jordan et cônes symétriques,” Ecole d’été CIMPA, Univ. Poitiers, 1988.

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13. E. B. Vinberg, Homogeneous cones, Soviet Math. Dokl. 1 (1961), 787–790.