Grassmann manifold in a Hilbert Jordan algebra

野 村 隆 昭 京大理

実 Hilbert 空間であると同時に実 Jordan 代数であり, Jordan 積による掛算作用素 L(x) : y ↦ xy がすべて自己共軛になっているようなものを Hilbert Jordan 代数という. 本講演では, 位相的に単純な Hilbert Jordan 代数 V の階数 p の羃等元がなす多様体 ℑ_{p} について述べる. ここで, V の羃等元はすべて階数有限であり, 内積を正規化して ℑ_{p} の元のノルムはすべて p^{1/2} とできることに注意しておく. さて, 各 a ∈ ℑ_{p} は V に Peirce 分解を与える :

V = V_{0}(a) ⊕ V_{1/2}(a) ⊕ V_{1}(a) （直交直和） , V_{k}(a) := {x ∈ V ; ax = kx}.

この分解において, V_{1}(a) は部分代数をなし, V_{1}(a)V_{1/2}(a) ⊂ V_{1/2}(a) が成り立っている. 部分代数 V_{1}(a) の可逆元全体を V_{1}(a)^{×} で表す. そして, π_{a}(x) := 2L(x) |_{V_{1/2}(a)} (x ∈ V_{1}(a)) とおくと, π_{a} : V_{1}(a) → Sym(V_{1/2}(a)) は π_{a}(a) = I をみたす Jordan 代数 V_{1}(a) の表現になっている. 各 b ∈ ℑ_{p} を b = b_{0} + b_{1/2} + b_{1} (b_{k} ∈ V_{k}(a)) と表して, N_{a} := {b ∈ ℑ_{p}; b_{1} ∈ V_{1}(a)^{×}} とする. 写像 ξ_{a} を ξ_{a}(b) := π_{a}(b_{1})^{−1}b_{1/2} (b ∈ N_{a}) で定義すると, ξ_{a} は N_{a} から V_{1/2}(a) への全単射を与える. この ξ_{a} を用いて, a での接空間 T_{a}(ℑ_{p}) が V_{1/2}(a) となる Hilbert 多様体構造を ℑ_{p} に導入できて, これにより, 包含写像 ℑ_{p} ↪ V は embedding になる. 従って, Hilbert 空間 V の閉部分多様体として, ℑ_{p} は Riemannian Hilbert 多様体となる. ここでは, a, b ∈ ℑ_{p} で生成される部分代数 V [a, b], 及び a ∈ ℑ_{p}, x ∈ V_{1/2}(a) で生成される部分代数 V [a, x] の構造が計算の簡易化に大きく貢献する. さらに, 各 a ∈ ℑ_{p} に対して V_{1/2}(a) が {u, v, w} := (uv)w + u(vw) − v(uw) によって Hilbert Jordan ３重系 (Hilbert JTS) をなすことも V [a, x] の構造の記述に関わってくる. さて, V_{1/2}(a) への直交射影を E_{1/2}(a) とする. また, ℑ_{p} 上の各接ベクトル場 X を, a での値が V_{1/2}(a) に属する V -値 C^{∞}-函数とみなし, ℑ_{p} の標準接続 ∇ を ∇_{X}Y (a) := E_{1/2}(a)(Y′(a)(X(a))) で定義する. ただし, Y′ は V -値函数とみた接ベクトル場 Y の Fréchet 微分である. さらに, 各 x ∈ V_{1/2}(a) に対して, γ(t) := γ_{a,x}(t) := (exp 4t [ L(x), L(a) ])a はγ(0) = a, γ̇(0) = x をみたす ℑ_{p} の測地線であり, 次の表示を持つ :

γ(t) = [cos(2tL(x^{2})^{1/2})] a + \frac{1}{2} \frac{sin(2tL(x^{2})^{1/2})}{L(x^{2})^{1/2}} x + \frac{1}{2} \frac{I − cos(2tL(x^{2})^{1/2})}{L(x^{2})} x^{2}.

ここで, 作用素 L(x^{2}) は半正定値であることに注意しておく. 指数写像 Exp_{a}(x) := γ_{a,x}(1) は B_{a} := {x ∈ V_{1/2}(a) ; ||| x |||_{1/2} < π/2} から N_{a} の上への微分同相になっている. ただし, ||| · |||_{1/2} は Hilbert JTS V_{1/2}(a) のスペクトルノルムを表す. ℑ_{p} の Riemann 距離は dist(a, b) = ∥Arcsin(a−b)∥ で与えられる（Arcsin は, Hilbert JTS とみなした V 上で「作用素解析」を通して定義されるもの） . ℑ_{p} の a における断面曲率 k_{a}(x, y) (x, y ∈ V_{1/2}(a), ∥x∥ = ∥y∥ = 1, x ⊥ y) は, Hilbert JTS V_{1/2}(a) 上の作用素 u □ v := {u, v, ·}, P (u) := {u, ·, u} を用いて次の (1) の様に表される.

(1) k_{a}(x, y) = 2 ⟨ (y □ y − P (y))x | x ⟩ = 2 ⟨ (x □ x − P (x))y | y ⟩.

(2) 0 ≦ k_{a}(x, y) ≦ 4 min( ||| x |||_{1/2}^{2}, ||| y |||_{1/2}^{2}) ≦ 2 (∵ |P (x)| ≦ x □ x).

Hilbert JTS V_{1/2}(a) の部分空間 W が平坦であるとは, {W, W, W } ⊂ W かつ {u, v, w} = {v, u, w} (∀u, v, w ∈ W) が成り立つときをいう. そうすると,

(3) k_{a}(x, y) = 0 ⟺ x, y は１つの平坦部分空間 W に含まれる.