Manifold of primitive idempotents in a Jordan-Hilbert algebra

野 村 隆 昭 京大理

V を Jordan-Hilbert 代数とする. すなわち, (1) V は内積 ⟨ · | · ⟩ を持つ実 Hilbert 空間,

(2) V は実 Jordan 代数, 従って双線型な積 x, y ↦ xy が定義されていて, ∀x, y ∈ V について, 次の (i), (ii) が成立 :

(i) xy = yx, (ii) x^{2}(xy) = x(x^{2}y),
(3) ⟨xy | z⟩ = ⟨y | xz⟩ が ∀x, y, z ∈ V について成立.

このとき, 積 V × V ∋ (x, y) ↦ xy ∈ V は連続になることを注意しておく. V はゼロ代数 (xy = 0 ∀x, y) ではないという仮定のもとで, V には non-zero なべき等元が存在する. 原始べき等元の全体を ℑ_{1} で表す. 以下, V は topologically simple (i.e., ∄ non-trivial closed ideal) であるとする. このとき, ℑ_{1} のすべての元が同じノルムを持つことが示されるので, V の内積を正規化して, ∀a ∈ ℑ_{1} について, ∥a∥ = 1 としておく. 各 a ∈ ℑ_{1} に対して, V_{1/2}(a) := {x ∈ V ; ax = x/2} とおく (Peirce (1/2)-空間). V_{1/2}(a) への直交射影作用素 E_{1/2}(a) は E_{1/2}(a) = 4L(a) − 4L(a)^{2} で与えられる. ただし, L(a) は a を乗ずるという作用素である. 写像

ξ_{a}(b):= −2a + \frac{2}{⟨a | b⟩} ab (b ∈ N_{a}:= \{b ∈ ℑ_{1} ; ⟨b | a⟩ ≠ 0\})

は N_{a} から V_{1/2}(a) への bijection を与えるので, この ξ_{a} を用いて, 接空間 T_{a}(ℑ_{1}) が V_{1/2}(a) となる Hilbert 多様体構造を ℑ_{1} に導入できて, これにより, 包含写像 ℑ_{1} ↪ V は embedding になる. 従って, ℑ_{1} は Hilbert 空間 V の閉部分多様体として, Riemannian Hilbert 多様体となる. また, ℑ_{1} の Riemannian distance dist(a, b)

は\sqrt{2} arcsin \frac{∥a − b∥}{\sqrt{2}} に等しいことが示される.

Jordan-Hilbert 代数 V の自己同型群を Aut(V) で表す. Hilbert 空間としての V の直交群を O(V) とすると, Aut(V) ⊂ O(V) が成り立つ. Aut(V) も O(V) も作用素のノルム位相で Banach-Lie 群になっている.

定理 1. ℑ_{1} は two-point homogeneous である : dist(a_{1}, b_{1}) = dist(a_{2}, b_{2}) のとき, T ∈ Aut(V) が存在して T a_{1} = a_{2} かつ T b_{1} = b_{2} となる. しかもこの T は I − 2E_{1/2}(d) (d ∈ ℑ_{1}) の形の作用素の有限個の積にとれる.

次の定理を述べる前に, x ∈ V_{1/2}(a) かつ ∥x∥ = 1 なら, 2x^{2} − a ∈ ℑ_{1} であることに注意しておく. さて, ℑ_{1} の a における断面曲率を k_{a}(x, y) (x, y ∈ V_{1/2}(a) with ∥x∥ = ∥y∥ = 1, ⟨x | y⟩ = 0) で表すと

定理 2. k_{a}(x, y) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} ∥E_{1/2}(2x^{2} − a)y∥^{2}. 特に, \frac{1}{2} ≦ k_{a}(x, y) ≦ 2.

参考文献

U. Hirzebruch, Über Jordan-Algebren und kompakte Riemannsche symmetrische Räume vom Rang 1, Math. Z., 90 (1965), 339–354.