Cayley変換像の凸性による対称管状領域の特徴付け

甲斐千舟 (京大・理) 野村隆昭 (京大・理)

Cayley 変換

w ↦ \frac{w − 1}{w + 1} = 1 − 2(w + 1)^{−1} (w ∈ ℂ)  (1)

によって右半平面は開単位円板に写される. 管状領域 Ω + iV が対称であるときは, 対称錐 Ω に付随する Jordan 代数 V の逆元写像を用いて上式の (w + 1)^{−1} にあたるものを与えることによって, Ω + iV の Cayley 変換が自然に定義される. その像は複素化された Jordan 代数 W のスペクトルノルムに関する単位球となり, 特に凸集合である. 対称とは限らない一般の管状領域の Cayley 変換は, パラメーター付けされた擬逆元写像を用いて定義される. 管状領域が非対称な場合には, 対称な時とは違って標準的な逆元写像は無く, パラメーター付けが意味をもってくる.

V を有限次元実ベクトル空間, Ω ⊂ V を等質錐とする. すなわち, 直線を含まない開凸錐 Ω に線型自己同型群

G(Ω) = {g ∈ GL(V) | gΩ = Ω}

が推移的に作用しているとする. このとき G(Ω) の分裂型可解部分群 H で Ω に単純推移的に作用するものが存在する. 任意に E ∈ Ω をとり, 固定する. 軌道写像 H ∋ T ↦ T E ∈ Ω は微分同相写像であるから, これを H の単位元で微分することにより線型同型写像 𝔥 := Lie(H) ∋ L ↦ LE ∈ T_{E}(Ω) = V を得る. この逆写像を V ∋ x ↦ L_{x} ∈ 𝔥 と表す. V に積 △ を

x△y := L_{x}y (x, y ∈ V)

で導入する. (V, △) は E を単位元とする非結合的代数 (clan) になる. Clan (V, △) は normal 分解と呼ばれる直和分解をもつ: 正整数 r と冪等元 E_{1}, …, E_{r} が存在して, 1 ≤ j < k ≤ r をみたす整数 j, k に対して

V_{kj} := {x ∈ V | ∀c = ∑ λ_{i}E_{i}, c△x = 2^{−1}(λ_{j} + λ_{k})x, x△c = λ_{j}x} とおくとき,

E = E_{1} + ⋯ + E_{r}, V = ∑_{i=1}^{r} ℝE_{i} + ∑_{1≤j<k≤r} V_{kj}.

𝔞 := ∑ ℝL_{E_{i}} とおく. 𝔞は𝔥の極大可換部分Lie代数である. 各s = (s_{1}, …, s_{r}) ∈ ℝ^{r} に対し, A := exp 𝔞 の一次元表現 χ_{s} を

χ_{s} (exp (∑ t_{i}L_{E_{i}})) := exp (∑ s_{i}t_{i})

で定義する. 𝔫_{kj} := {L_{x} ∈ 𝔥 | x ∈ V_{kj}} (1 ≤ j < k ≤ r), 𝔫 := ∑_{j<k} 𝔫_{kj} とおく. 𝔫 は 𝔥 の冪零部分 Lie 代数であり, 𝔥 = 𝔞 ⋉ 𝔫 である. N := exp 𝔫 とおくと, H = A ⋉ N となる. χ_{s} を χ_{s}|_{N} ≡ 1 として H の一次元表現に拡張し同じ記号で表す. 微分同相写像 H ∋ T ↦ T E ∈ Ω を用いて χ_{s} を Ω に移した函数を Δ_{s} とする:

Δ_{s}(hE) := χ_{s}(h) (h ∈ H).

パラメーター s = (s_{1}, …, s_{r}) ∈ ℝ^{r} は s_{1}, …, s_{r} > 0 を満たすとする (これを s > 0 と書く). V 上の双線型形式 ⟨·|·⟩_{s} を

⟨x|y⟩_{s} := D_{x}D_{y} log Δ_{−s}(E) (x, y ∈ V)

により定義すると, これは V 上の正定値内積を定める. ただし, V 上の C^{∞} 級函数 f と v, x ∈ V に対し D_{v}f(x) = \frac{d}{dt}f(x + tv)|_{t=0} である. x ∈ Ω の擬逆元 I_{s}(x) を次のように定める:

⟨I_{s}(x)|y⟩_{s} = −D_{y} log Δ_{−s}(x) (y ∈ V).

I_{s} : Ω → V を擬逆元写像と呼ぶ. 一方, Ω の双対錐を内積 ⟨·|·⟩_{s} を用いて V に実現したものを Ω^{s} とする:

Ω^{s} := \{x ∈ V | ∀y ∈ \overline{Ω} \ \{0\}, ⟨x|y⟩_{s} > 0\}.

Ω^{s} から出発して I_{s} の定義と同様の操作を進めることにより, 双対擬逆元写像 I_{s}^{∗} : Ω^{s} → V を得る.

I_{s} は I_{s}(E) = E, I_{s}(Ω) = Ω^{s} を満たす. W := V_{ℂ} とおくと, I_{s}, I_{s}^{∗} は共に W 上の双有理写像に解析接続され, I_{s}^{−1} = I_{s}^{∗} である. I_{s}, I_{s}^{∗} はそれぞれ管状領域 Ω + iV, Ω^{s} + iV 上で正則である. 内積 ⟨·|·⟩_{s} を W に複素双線型に拡張し, 同じ記号で表す. W 上の線型作用素 A の ⟨·|·⟩_{s} に関する転置写像を^{s}A と書く. H の複素化を H_{ℂ} とおく. I_{s} は H_{ℂ} 共変である: I_{s}(hx) = ^{s}h^{−1}I_{s}(x) (h ∈ H_{ℂ}). また, 実形 V に関する W の複素共役を w ↦ \overline{w} で表すと, I_{s}(\overline{w}) = \overline{I_{s}(w)} (w ∈ W). Ω によって決まるパラメーター d = (d_{1}, …, d_{r}) を

d_{i} := Tr L_{E_{i}} (i = 1, …, r)

で定める. 管状領域 Ω + iV が対称ならば, E を単位元とする Jordan 代数の構造が W に入る. このとき I_{d} は Jordan 代数の逆元写像に一致する.

(1) に倣って管状領域 Ω + iV の Cayley 変換 C_{s} を

C_{s}(w) := E − 2I_{s}(w + E) (w ∈ Ω + iV)

と定義する. また, Ω^{s} + iV の双対 Cayley 変換 C_{s}^{∗} を次のように定める: C_{s}^{∗}(w) := E − 2I_{s}^{∗}(w + E) (w ∈ Ω^{s} + iV).

定理. Ω を既約な等質錐とし, s > 0 とする. このとき次の二つは同値である: (A) C_{s}(Ω + iV), C_{s}^{∗}(Ω^{s} + iV) は共に凸である. (B) Ω + iV は対称であり, ある正数 p > 0 が存在して s = pd となる.

参考文献

[1] C. Kai and T. Nomura, A characterization of symmetric cones through pseudoinverse maps, to appear in J. Math. Soc. Japan.

[2] C. Kai and T. Nomura, A characterization of symmetric tube domains by convexity of Cayley transform images, Kyoto-Math., 2004-4.