代数学A中間試験略解

今野拓也 ¹

目次

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Date: 2008年11月17日

1   次の主張が正しければ○、誤りならば×を付けよ。

1. アーベル群の直積はアーベル群である。
2. 群$G$ をその交換子群$D(G)$ で割った商群(剰余群) $G/D(G)$ はアーベル群になる。
3. $G$ の中心$Z(G)$ が単位群$\{e\}$ であれば、$G/D(G)$ も単位群である。
4. 準同型 $\varphi : G\to H$ の像 $\mathrm{Im} \varphi$ は$H$ の正規部分群である。
5. 巡回群 $\mathbb{Z}/127\mathbb{Z}$ の生成元は$126$ 個もある。
6. 準同型 $f : G\to H$ , $g : H\to K$ に対して $\mathrm{Ker}(g\circ f)\subset\mathrm{Ker} f$
7. Kleinの$4$ 群$V_{4}$ は$S_{4}$ の正規部分群である。
8. $S_{3}$ は$S_{6}$ の商群である。
9. 任意の巡回群は加法群 $\mathbb{Z}$ の商群に同型である。
10. 準同型 $f : G\to H$ の核と像がともにアーベル群なら$G$ はアーベル群である。

[答](1) ○ (2) ○ (3) × (例えば$S_{3}$ の中心は自明だが $S_{3}/D(S_{3})=S_{3}/A_{3}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .) (4) × (部分群だが正規とは限らない。) (5) ○ (127は素数である。) (6) × ( $\mathrm{Ker}(g\circ f)\supset\mathrm{Ker} f$ だが逆は必ずしも正しくない。) (7) ○ (8) × ($S_{6}$ の商群は単位群と $S_{6}/A_{6}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , それに$S_{6}$ 自身だけである。) (9) ○ (10) × ( $f : S_{3}\ni \sigma\mapsto \mathrm{sgn}(\sigma)\in \{\pm 1\}$ は像も核 $A_{3}\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ もアーベルだが、$S_{3}$ は非可換である。)

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2   (1)部分集合 $X:=\{ \sigma\in S_{6} \vert \sigma^{6}=e\}$ に含まれる$S_{6}$ の共役類をすべて求めよ。
(2) $X$ は$S_{6}$ の部分群か。理由も述べよ。

[答](1) $S_{6}$ 内の共役類は$6$ の分割と一対一対応する。分割 $(n_{1},n_{2},\dots, n_{r})$ , ( $n_{1}\geq n_{2}\geq \dots\geq n_{r}$ )に対応する共役類の元の位数は $n_{1},\dots, n_{r}$ の最小公倍数であった。よって$X$ に含まれる共役類は分割

$$(6), (3,3), (3,2,1,), (3,1,1,1), (2,2,2), (2,2,1,1), (2,1,1,1,1), (1,1,1,1,1,1)$$

に対応する$8$ 個である。

(2)群ではない。例えば $(2,1,1,1,1)$ に属する$(1,2)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ をかけ合わせると$(1,2,3,4)$ が得られるが、これは$X$ に属さない。

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3   (1)位数$4$ の群はアーベル群であることを示せ。
(2)位数$6$ の非アーベル群$G$ の類等式を求めよ。$G$ の同型類を求めよ。

[答](1)位数$4$ の群$G$ の中心を$Z$ と書く。類等式

$$4=\vert G\vert= \vert Z\vert+ \sum_{\{\gamma\}\in (G\smallsetminus Z)/\mathrm{Ad}(G)} \dfrac{4}{\vert Z_{G}(\gamma)\vert}$$

の右辺の和において、 $\gamma\notin Z$ から $\vert Z_{G}(\gamma)\vert<4$ であるからこの和は偶数である。よって$\vert Z\vert$ も偶数であるから $\vert G/Z\vert\leq 2$ である。よって素数位数の$G/Z$ は巡回群だから演習でやった章末問題(31)から$G=Z$ である。

(2) $G$ の中心を$Z$ と書く。 $\vert Z\vert=1, 2, 3$ のいずれかだが、$Z=2, 3$ のときには$G/Z$ が(素数位数なので)巡回群になってしまい、やはり章末問題(31)から$G=Z$ となって矛盾。よって$Z=\{e\}$ である。類等式

$$6= \vert Z\vert+ \sum_{\{\gamma\}\in (G\smallsetminus Z)/\mathrm{Ad}(G)} \dfrac{6}{\vert Z_{G}(\gamma)\vert}$$

において$\vert Z\vert=1$ で右辺の和の各項は$2$ または$3$ だから、求める具体的な類等式は

$$6=1+2+3$$

である。

特に $\vert H:=Z_{G}(\sigma)\vert=3$ となる $\sigma\in G$ がある。$H$ は素数位数だから巡回群 $H=\{e,\sigma,\sigma^{2}\}$ で、$(G:H)=2$ から $H\triangleleft G$ である。 $G\smallsetminus H\ni \tau$ を取れば、 $G=H\sqcup H\tau=\langle\sigma,\tau \rangle$ で非アーベル性から

$$\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^{2}$$

でなくてはならない。さらに$\tau^{2}$ は$\sigma$ と可換だから $\tau^{2}\in Z=\{e\}$ である。すなわち $G\cong D_{3}\cong S_{3}$ である。

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4   (1) $\mathbb{C}^{\times}$ の有限部分群をすべて求めよ。
(2)上で求めた各有限部分群$H$ に対して $\mathbb{C}^{\times}/H\cong \mathbb{C}^{\times}$ となることを示せ。ただし任意の多項式は1次式の積に分解すること(代数学の基本定理)を使ってよい。

[答](1)有限部分群 $H\subset \mathbb{C}^{\times}$ 内の位数が最大の元$\zeta$ を取り、その位数を$n$ とする。 $\zeta^{n}=1$ だから $\zeta=e^{2k\pi i/n}$ , ($1\leq k<n$ は$n$ と素)と書ける。Euclidの互除法から$ak+bn=1$ となる $a, b\in \mathbb{Z}$ が取れて

$$\zeta^{a}=e^{2ak\pi i/n}=e^{2(1-bn)\pi i/n}=e^{2\pi i/n}\in H$$

である。同様に$\eta\in H$ の位数が$m$ なら適当な $b\in \mathbb{Z}$ があって $\eta^{b}=e^{2\pi i/m}\in H$ である。$m, n$ の最大公約数を$d=(m,n)$ と書けば、Euclidの互除法により$qm+rn=d$ となる $q, r\in \mathbb{Z}$ がある。このとき$H$ は

$$\zeta^{aq}\eta^{br}=\exp 2\pi i\Bigl(\dfrac{q}{n}+\dfrac{r}{m}\Bigr)= \exp2\pi i\Bigl(\dfrac{qm+rn}{mn}\Bigr) = \exp (2\pi i/\mathrm{l.c.m.}(m,n))$$

を含み、その位数は $\mathrm{l.c.m.}(m,n)$ である。これが$n$ 以下になるのだから$m$ は$n$ の約数でなくてはならない。すなわち $H=\{ e^{2k\pi i/n} \vert 0\leq k<n\}$ ($1$ の$n$ 乗根全体の群)となる。

(2) $f : \mathbb{C}^{\times}\ni z\mapsto z^{n}\in \mathbb{C}^{\times}$ とおけば、これが準同型であること、 $\mathrm{Ker} f$ が上の$H$ であることは明らかである。また勝手な $u\in \mathbb{C}^{\times}$ に対して多項式$X^{n}-u$ は一次式の積に分解する: $X^{n}-u=\prod_{i=1}^{n} (X-\alpha_{i})$ . このとき $f(\alpha_{i})=\alpha_{i}^{n}=u$ となるから$f$ は全射である。よって準同型定理から$f$ は同型 $\mathbb{C}^{\times}/H\cong \mathbb{C}^{\times}$ を与える。

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5   $f : \mathbb{Z}/66654\mathbb{Z}\in n\mod{66654}\mapsto (n\mod{207},n\mod{322})\in \mathbb{Z}/207\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/322\mathbb{Z}$ はwell-definedな準同型であることを示し、その核の位数を求めよ。

[答] $66654=207\cdot 322$ だから、 $n\mod{207}$ , $n\mod{322}$ は $n\mod{8694}$ から一意に定まる。よって$f$ は定義可能な写像で、加法を保つのは明らかだから準同型である。

$n\mod{8694}\in \mathrm{Ker} f$ となるためには$n$ が$207, 322$ の最小公倍数で割りきれることが必要十分である。Euclidの互除法

$$322=1\cdot 207+115,\quad 207=1\cdot 115+92, \quad 115=1\cdot 92+23, \quad 92=4\cdot 23$$

から、 $(322,207)=23$ で問題の最小公倍数は $207\cdot 322/23= 66654/23$ だから、求める核の位数は$23$ .

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6   $D_{n}$ の交換子群(の同型類)を求めよ。

[答]$D_{n}$ は正$n$ 角形の合同変換群だったから反時計回りの$2\pi i/n$ 回転$\sigma$ と$x$ 軸に関する折り返し$\tau$ を使って $D_{n}=\{ \sigma^{j}, \sigma^{j}\tau \vert 0\leq j< n\}$ と書けていた。

$$[\sigma^{j},\sigma^{k}]=e, \quad [\sigma^{j}\tau,\sigma^{k}] =\sigma^{j}\tau\sigma^{k}\tau\sigma^{-j}\sigma^{-k}=\sigma^{-2k},$$

$$[\sigma^{j}\tau,\sigma^{k}\tau]= \sigma^{j}\tau\sigma^{k}\tau\tau\sigma^{-j}\tau\sigma^{-k}=\sigma^{2(j-k)}$$

だから求める交換子群は $\langle\sigma^{2}\rangle$ である。($n$ が奇数なら $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 、偶数なら $\mathbb{Z}/(n/2)\mathbb{Z}$ に同型である。)

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7   (1) $S_{4}$ の正規部分群をすべて求めよ。(指数について順に調べる。結論だけでも部分的に評価する。)
(2) $S_{4}$ の商群の同型類をすべて求めよ。

[答](1) $\vert S_{4}\vert=24$ であるから、正規部分群$N$ の指数の可能性は $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ である。 $(S_{4}:N)=1, 2, 24$ ならそれぞれ $N=S_{4}, A_{4}, \{e\}$ である。

• $(S_{4}:N)=3$ とすると $(S_{4}:S_{3})=4$ は$3$ の倍数ではないから $S_{3}\not\subset N$ . よって
  $$S_{3}/(S_{3}\cap N)\cong S_{3}N/N \subset S_{4}/N\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$$
  の左辺は非自明となり、 $S_{3}\cap N$ は$S_{3}$ の指数$3$ の正規部分群でなくてはならない。しかしそのような正規部分群は存在せず矛盾である。
• $(S_{4}:N)=4$ のとき、$N$ は$A_{4}$ の位数$6$ の部分群。 $S_{3}\subset S_{4}$ は正規部分群でないから $S_{3}\not\subset N$ となって、上と同様に $S_{3}/(S_{3}\cap N)$ は位数$2$ または$4$ である。つまり $S_{3}\cap N= A_{3}$ だから $N\ni (1,2,3)$ . ところが$N$ は正規部分群だからこれは $N\ni (1,2,4), (1,3,4), (2,3,4)$ およびそれらの逆元を含むことを意味し、$\vert N\vert\geq 9$ となって矛盾。
• $(S_{4}:N)=6$ のとき。$A_{4}$ 内の共役類は偶数が偶数回現れる$4$ の分割 $(3,1), (2,2), (1,1,1,1)$ と一対一対応していて$A_{4}$ の類等式はこれらそれぞれの共役類の濃度の和になる:
  $$12= 8+ 3+ 1$$
  $N$ は正規だから共役類の合併に書け、位数が$4=3+1$ だから$N=V_{4}$ (Kleinの4群)となる。同じ理由で$A_{4}$ の位数$3$ 以下の正規部分群は存在しないことがわかる。
• $(S_{4}:N)=8, 12$ のとき、$N$ は$A_{4}$ の位数$3$ , $2$ の正規部分群だが、そのようなものはない。

以上から求める正規部分群は$S_{4}$ , $A_{4}$ , $V_{4}$ , $\{e\}$ の4つである。

(2)上で求めた正規部分群で$S_{4}$ を割って、求める商群は$\{e\}$ , $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ の4つである。

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8   $T:= \{ g\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \vert g{}^{t}g=E_{2}\}$ とおく。
(1) $T$ の $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ での中心化群$C$ を求めよ。
(2) $T$ の $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ での正規化群$N$ , $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ での正規化群$N'$ を求め、$N/CN'$ の同型類を求めよ。

[答](1) $T$ は回転行列からなるアーベル群 $\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})$ である。例えばその元 $w= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ に対して

$$w\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}w^{-1}= \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$$

であるから、その中心化群は

$$Z_{\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})}(w)= \left\{\left. \begin{pmatrix} \... ...t (\alpha,\beta)\not=(0,0), \in \mathbb{R}^{2}\right\}=\mathbb{R}^{\times}T$$

である。これはすでに$T$ の任意の元と可換だから求める中心化群$C$ はこの群である。

(2) $g\in N$ であるためには、任意の$t\in T$ に対して $gtg^{-1}\in T$ :

$${}^{t}g^{-1}t{}^{t}g={}^{t}(gtg^{-1})^{-1}= gtg^{-1}, \quad \therefore {}^{t}ggtg^{-1}{}^{t}g^{-1}=t,$$

つまり ${}^{t}gg\in Z_{\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})}(T)$ が必要十分。 $g= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と書くと、これは

$${}^{t}gg= \begin{pmatrix} a^{2}+c^{2} & ab+cd \\ ab+cd & b^{2}+d... ...eta & \alpha \end{pmatrix},\quad (\alpha,\beta)\not=(0,0), \in \mathbb{R}^{2}$$

と書けること、すなわち $\Vert\left( \begin{smallmatrix} a \\ c \end{smallmatrix}\right)\Vert^{2}= \Vert\left( \begin{smallmatrix} b \\ d \end{smallmatrix}\right)\Vert^{2}= \alpha$ , $\left( \begin{smallmatrix} a \\ c \end{smallmatrix}\right)\cdot \left( \begin{smallmatrix} b \\ d \end{smallmatrix}\right)=0$ を意味する。つまり $N= \{ g\in \mathrm{GL}(2,\mathbb{R}) \vert {}^{t}gg=\alpha E_{2}, \exists \alpha\in \mathbb{R}^{\times}\}=\mathbb{R}^{\times}\mathrm{O}(2,\mathbb{R})$ (直交行列のスカラー倍のなす群)である。また

$$N'= N\cap \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})= \mathrm{SO}(2,\mathbb{R})=T.$$

よって $N/CN'=\mathbb{R}^{\times}\mathrm{O}(2,\mathbb{R})/\mathbb{R}^{\times}\mathrm{S... ... \mathrm{O}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。